🌟 单位根在三角恒等式中的妙用

1. 三角函数 = 指数形式（欧拉公式）

$$
e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
$$

于是：

$$
\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\qquad
\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.
$$

当我们让 $\theta$ 是单位根角度 $\dfrac{2\pi k}{n}$ 时，指数变成单位根：

$$
\zeta = e^{2\pi i/n}.
$$

2. 推导经典三角恒等式

(1) 和角公式

$$
\cos(a+b)=\cos a\cos b - \sin a\sin b
$$

用指数形式：
$$
e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib}
$$
取实部即可。

(2) 倍角公式

$$
\cos 2x = 2\cos^2 x - 1.
$$

用：
$$
e^{i2x}=(e^{ix})^2.
$$

3. 求和公式（特别强大！）

例如：
$$
\cos x+\cos 2x+\cdots+\cos nx
$$

转成指数形式：
$$
\sum_{k=1}^n \cos kx
= \Re\Big(\sum_{k=1}^n e^{ikx}\Big).
$$

右侧是等比数列：
$$
\sum_{k=1}^n e^{ikx}
= \frac{e^{ix}(1-e^{inx})}{1-e^{ix}}.
$$

取实部即可，极为方便。

4. 求神奇恒等式（例如你的例子）

$$
\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}=-\frac12.
$$

利用单位根思想：

单位根总和为 $0$.
对称配对。
取实部。

类似还有：
$$
\cos\frac{2\pi}{9}+\cos\frac{4\pi}{9}+\cos\frac{8\pi}{9}=\frac12,
\qquad
\cos\frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt5-1}{4}.
$$

都可轻松推得。

5. 对称性带来的恒等式

单位根是正 $n$ 边形的顶点，因此：

$$
1+\zeta+\zeta^2+\cdots+\zeta^{n-1}=0.
$$

取实部：
$$
\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{2\pi k}{n} = 0.
$$

取虚部：
$$
\sum_{k=0}^{n-1}\sin\frac{2\pi k}{n} = 0.
$$

再例如：
$$
\cos\frac{2\pi}{n}+\cos\frac{4\pi}{n}+\cdots+\cos\frac{2\pi(n-2)}{n} = -1.
$$

6. 反推单位根的性质（由三角得到）

例如：若
$$
\cos\frac{2\pi k}{n} = \cos\frac{2\pi m}{n},
$$
则必有
$$
k\equiv \pm m \pmod n,
$$
这来自单位根的对称性。

7. 惊艳级应用

(1) 构造有关 $\pi$ 的三角公式

通过单位根构造 Chebyshev 多项式，可以得到许多奇妙恒等式，例如有关 $\sin 7x$ 的分解式等。

(2) 求多角恒等式

例如：
$$
\cos 5x = 16\cos^5 x - 20\cos^3 x + 5\cos x,
$$
可由
$$
\cos nx = \frac{z^n+z^{-n}}{2},\quad z=e^{ix}
$$
直接推得。

(3) 快速求一些困难的和

例如：
$$
\sum_{k=1}^6 \frac{1}{1-\cos\frac{2\pi k}{7}} = 7,
$$
用单位根可以很快计算。

🌟 总结

单位根把三角函数问题转化为：

幂运算
等比数列求和
对称性与几何直观
多项式根的分析
复数运算的统一技巧

因此许多本来复杂的问题变得简单、统一、优雅。